Qu'est-ce qu'une dérivée ?
La dérivée d'une fonction f en un point x, notée f'(x), représente le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe au point (x, f(x)). Si f'(x) > 0, la fonction est croissante en x ; si f'(x) < 0, elle est décroissante ; si f'(x) = 0, c'est un extremum local potentiel. La dérivation est l'opération fondamentale du calcul différentiel, utilisée dans toutes les sciences.
Formules de dérivation courantes
Les règles de dérivation de base sont : (x^n)' = n·x^(n-1), (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x, (√x)' = 1/(2√x). Les règles de calcul incluent la somme (f+g)' = f'+g', le produit (fg)' = f'g+fg', le quotient (f/g)' = (f'g-fg')/g², et la composition (f∘g)' = (f'∘g)·g' (règle de la chaîne). Notre calculatrice applique ces formules automatiquement.
Applications de la dérivation
La dérivée est utilisée partout en sciences et ingénierie. En physique, la vitesse est la dérivée de la position et l'accélération est la dérivée de la vitesse. En économie, le coût marginal est la dérivée du coût total. En optimisation, on cherche les points ou la dérivée s'annule pour trouver les maxima et minima. En machine learning, la descente de gradient utilise les dérivées partielles pour minimiser les fonctions de coût.