Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante fixe appelée « raison » (notée q). Par exemple, la suite 3, 6, 12, 24, 48 est géométrique de raison 2. La formule du n-ième terme est u_n = u_0 × q^n (ou u_n = u_1 × q^(n-1) si on commence à l'indice 1). Les suites géométriques modélisent les phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle.
Somme et convergence d'une suite géométrique
La somme des n premiers termes est S_n = u_1 × (1 - q^n) / (1 - q) si q ≠ 1. Si |q| < 1, la suite converge vers 0 et la somme infinie existe : S_∞ = u_1 / (1 - q). Si |q| ≥ 1 (et q ≠ 1), la suite diverge et la somme infinie n'existe pas. Si q = 1, tous les termes sont égaux et S_n = n × u_1. Notre calculatrice détermine automatiquement le comportement de la suite et calcule la somme infinie quand elle existe.
Applications des suites géométriques
Les suites géométriques sont omniprésentes : intérêts composés en finance (un capital qui croît de r% chaque année suit une suite géométrique de raison 1+r/100), décroissance radioactive en physique, propagation virale en épidémiologie, et algorithmes de type « diviser pour régner » en informatique. La somme infinie d'une suite géométrique convergente est à la base du calcul de la valeur actuelle d'une rente perpétuelle en finance.