Qu'est-ce qu'une combinaison ?
En mathématiques, une combinaison est une sélection d'éléments dans un ensemble sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n est noté C(n,k), aussi écrit (n k) ou « n choose k ». La formule est C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Par exemple, le nombre de façons de choisir 3 cartes parmi 52 est C(52,3) = 22 100.
Combinaisons vs permutations
La différence essentielle est l'ordre. Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas : choisir {A, B, C} est identique à {C, A, B}. Dans une permutation, l'ordre compte : ABC ≠ CAB. Le nombre de permutations P(n,k) = n!/(n−k)! est toujours supérieur ou égal au nombre de combinaisons C(n,k), car il y a k! façons d'ordonner k éléments.
Applications des combinaisons
Les combinaisons interviennent dans de nombreux domaines : calcul de probabilités (loterie, tirage au sort), théorie des graphes, codage et cryptographie, statistiques (tests d'hypothèses), et même en biologie (combinaisons génétiques). Le coefficient binomial C(n,k) apparaît aussi dans le triangle de Pascal et dans le développement du binôme de Newton.