Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + bi, où a est la partie réelle, b la partie imaginaire, et i l'unité imaginaire définie par i² = -1. L'ensemble des nombres complexes (noté ℂ) étend les nombres réels et permet de résoudre des équations comme x² + 1 = 0. Les nombres complexes sont essentiels en mathématiques, physique (circuits électriques, mécanique quantique), traitement du signal et aérodynamique.
Opérations sur les nombres complexes
L'addition et la soustraction se font composante par composante : (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. La multiplication utilise la distributivité et i² = -1 : (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i. La division multiplie par le conjugué du dénominateur. Le module |z| = √(a²+b²) mesure la distance à l'origine. L'argument arg(z) = atan2(b,a) donne l'angle avec l'axe réel.
Forme trigonométrique et exponentielle
Tout nombre complexe non nul peut s'écrire z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ), où r = |z| est le module et θ = arg(z) l'argument. Cette forme simplifie les multiplications (on multiplie les modules et additionne les arguments) et les puissances (formule de De Moivre : z^n = r^n · e^(inθ)). Notre calculatrice affiche le module et l'argument pour faciliter ces conversions.